Лечу с внучкой, гражданкой России, за границу. Нужно ли нотариально заверенное разрешение одного из родителей?

Да, нужно. Вылететь из России без нотариально заверенного разрешения одного из родителей несовершеннолетний может только в таком случае: он летит вместе со вторым родителем, опекуном или попечителем. В вашем же случае это разрешение нужно оформить.